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Inner producted 一些问题

A record of some simple ideas.

vector inner product

向量的内积

内积的定义:

设A和B为两个向量,它们的内积定义为A在B上的投影长度,用公式表示为<A,B> =

cosθ,其中θ是两向量之间的角度。

内积的几何意义:内积反映了两个向量间的相似程度,当两个向量方向相同时内积最大;when两向量垂直时内积为0。
如何计算两个向量的内积:设两个n维向量为A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),则两向量的内积为<A,B> = a1b1 + a2b2 + … + anbn,即对应元素相乘并求和。
内积为何等于零:当两个向量垂直时,cosθ=0,从内积公式可知此时<A,B>=0。也就是说,内积等于零表示两个向量互相垂直。

矩阵内积的性质:

范数不等式$

<A,B>

$ 这啥

函数内积的定义:对于区间[a,b]上的连续函数f(x)和g(x),它们的内积定义为$\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) d x$
如何利用积分计算函数内积:将函数相乘后对区间[a,b]积分,即可计算内积。
函数内积的双线性形式:满足α<f,g> = <αf,g> = <f,αg>
函数内积与区间长度的关系:内积与区间长度成正比,因此也会normalize由 $\int ab$ 改为 $\int \frac{ab}{L}$。
函数内积的应用:反映函数间相关性,应用于信号处理、模式识别等领域。

\[\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) d x\]

or another choice

\[\langle f, g\rangle=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) g(x) d x\]

第一种表示法:

\[\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) dx\]

直接对函数的乘积在区间[a,b]上进行积分即可得到内积。

第二种表示法:

\[\langle f, g\rangle=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) g(x) dx\]

在积分中额外引入了比例系数$\frac{1}{b-a}$,目的是归一化区间[a,b]的长度,使得内积不直接依赖于区间长度。